摘要:本文分析了分類思想在初中教學(xué)中的滲透,希望能給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來幫助。
關(guān)鍵詞:分類思想;初中教學(xué);滲透
數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所說:“完善的思想方法猶如北極星,許多人通過它而找到正確的道路”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維,數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實現(xiàn),在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)思維能力,形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn),也是進行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個切入點。數(shù)學(xué)分類思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點,將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想,又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。分類思想,貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。需要運用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題,就其引起分類的原因,可歸結(jié)為:涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的;運用的數(shù)學(xué)定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的;求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能;數(shù)學(xué)問題中含有參變量,這些參變量的取值會導(dǎo)致不同結(jié)果的。分類思想不像一般數(shù)學(xué)知識那樣,通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征,學(xué)生在學(xué)習(xí)各階段的認(rèn)識水平和知識特點,逐步滲透,螺旋上升,不斷地豐富自身的內(nèi)涵。
一、滲透分類思想,養(yǎng)成分類的意識
每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識,如人群的分類、文具的分類等,我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識基礎(chǔ),把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中,在教學(xué)中進行數(shù)學(xué)分類思想的滲透,挖掘教材提供的機會,把握滲透的契機。如數(shù)的分類、絕對值的意義、不等式的性質(zhì)等,都是滲透分類思想的很好機會。
教授完負數(shù)、有理數(shù)的概念后,及時引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進行分類,讓學(xué)生了解到對不同的標(biāo)準(zhǔn),有理數(shù)有不同的分類方法,如分為:
為下一步分類討論奠定基礎(chǔ)。
認(rèn)識數(shù)a可表示任意數(shù)后,讓學(xué)生對數(shù)a進行分類,得出正數(shù)、零、負數(shù)三類。
講解絕對值的意義時,引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類:
通過對正數(shù)、零、負數(shù)的絕對值的認(rèn)識,了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。
又如,兩個有理數(shù)的比較大小,可分為:正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負數(shù)、負數(shù)和零、負數(shù)和負數(shù)幾類情況來比較,而負數(shù)和負數(shù)的大小比較是新的知識點,這就突出了學(xué)習(xí)的重點。
結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué),反復(fù)滲透,強化數(shù)學(xué)分類思想,使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則,如分類的對象是確定的,標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的,如若不然,對象混雜,標(biāo)準(zhǔn)不一,就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。如把有理數(shù)分為:正數(shù)、負數(shù)、整數(shù),就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯誤。在確定對象和標(biāo)準(zhǔn)之后,還要注意分清層次,不越級討論。
二、學(xué)習(xí)分類方法,增強思維的縝密性
在教學(xué)中滲透分類思想時,應(yīng)讓學(xué)生了解,所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn),根據(jù)對象的屬性,不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類,而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法,就成為解決問題的關(guān)鍵所在。
分類的方法常有以下幾種:
1. 根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進行分類
有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的,解答此類題,一般按概念的分類形式進行分類。
例1.-25+-26-96--39=
這是按絕對值的意義進行分類。
2. 根據(jù)數(shù)學(xué)的法則、性質(zhì)或特殊規(guī)定進行分類
學(xué)習(xí)一元二次方程根的判別式時,對于變形后的方程用兩邊開平方求解,需要分類研究大于0,等于0,小于0這三種情況對應(yīng)方程解的情況。而此題的符號決定能否開平方,是分類的依據(jù)。從而得到一元二次方程的根的三種情況。
例2. 解關(guān)于x的不等式:ax+3>2x+a
分析:通過移項不等式化為(a-2)x>a-3的形式,然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可分為a-2>0,a-2=0,和a-2<0三種情況分別解不等式。
當(dāng)a-2>0,即a>2時,不等式的解是x>■
當(dāng)a-2=0,即a=2時,不等式的左邊=0,不等式的右邊=-1
因為0≠-1,所以不等式的解是一切實數(shù)。
當(dāng)a-2<0,即a<2時,不等式的解是x<■
3. 根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進行分類
如三角形按角分類,有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形,直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為:直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。
例3. 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°,底邊長為a,則其腰上的高是 .(2008年河南中考題)
分析:本題根據(jù)圖形的特征,把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高CD,可得腰上的高。或從幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同的位置進行分類。
在證明圓周角定理時。由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部,角的外部三種不同的情況,因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上,這種最容易解決的情況,然后通過作過圓周角頂點的直徑,利用先證明(圓心在圓周角的一條邊上)的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。
三、引導(dǎo)分類討論,提高合理解題的能力
初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題,都需要分類討論,在教授這些內(nèi)容時,應(yīng)不斷強化學(xué)生分類討論的意識,讓學(xué)生認(rèn)識到這些問題,只有通過分類討論后,得到的結(jié)論才是完整的、正確的,如不分類討論,就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學(xué)中,通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括,總結(jié)出規(guī)律性的東西,從而加強學(xué)生思維的條理性和縝密性。
一般來講,利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類:其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中,根據(jù)字母不同的取值情況,分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況,逐一討論解決問題。
例4. 已知函救y=(m-1)x2+(m-2)x-1(m是實數(shù))。如果函數(shù)的圖像和x軸只有一個交點,求m的值。
分析:這里從函數(shù)分類的角度討論,分 m-1=0 和 m-1≠0 兩種情況來研究解決問題。
解:當(dāng)m=1時函數(shù)就是一個一次函數(shù)y=-x-1,它與x軸只有一個交點(-1,0)。
當(dāng) m≠1 時,函數(shù)就是一個二次函數(shù)y=(m-1)x2+(m-2)x-1
當(dāng)Δ=0,得 m=0.
拋物線 y=-x2-2x-1,的頂點(-1,0)在x軸上
由以上的幾個例子,我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復(fù)雜的問題變得異常簡單,解題思路非常清晰,步驟非常明了。另一方面在討論中,可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
利用現(xiàn)有教材,教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握分類的思想方法,結(jié)合其他數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí),注意幾種思想方法的綜合使用,給學(xué)生提供足夠的材料和時間,啟發(fā)學(xué)生積極思維。筆者相信會使學(xué)生在認(rèn)識層次上得到極大的提高,收到事半功倍的教學(xué)成效的。
(作者單位:山西省河曲縣教學(xué)研究室 036500)